浅谈数学解题中的目标意识

　　解决一道数学题，我们还可以从目标出发去研究其结论成立的充分条件，由此进行分析，一直到所需条件判定是正确的为止，此时便可判定所求目标是成立的，这就是“执果索因”的证题思路。这种方法能帮助我们较快地找到解决问题的途径。

  例3、已知数列〖{b〗_n}是等差数列，b_1=1，b_1+b_2+b_3+⋯+b_10=145

　　（1）求数列〖{b〗_n}的通项公式；
　　（2）设数列〖{a〗_n}的通项公式a_n=log_a (1+1/b_n )(其中a>0，a≠1),记S_n是数列〖{a〗_n}的前n项的和，试比较S_n与1/3 log_a b_(n+1)的大小，并证明你的结论。（1998年全国高考卷）

　　分析：这道题，从结论的要求上去分析，是能很快地找到解题切口，首先，从已知能很快地求出{b_n}的通项公式：b_n=3n-2，现要比较S_n与1/3 log_a b_(n+1)的大小，不妨对结论中S_n与1/3 log_a b_(n+1)的内在结构进行分析。
S_n=a_1+a_2+⋯+a_n
=log_a (1+1)+log_a (1+1/4)+⋯+log_a (1+1/(3n-2))
=log_a [(1+1)(1+1/4)…(1+1/(3n-2))]

　　而1/3 log_a b_(n+1)=log_a ∛(3n+1)，由此可见，比较S_n与1/3 log_a b_(n+1)的大小，就是比较(1+1)(1+1/4)…(1+1/(3n-2))与∛(3n+1)的大小，这时对要研究的目标已经进行了转化，先可用特值进行分析猜想，得(1+1)(1+1/4)…(1+1/(3n-2))＞∛(3n+1)

　　这个结论可用数学归纳法进行证明，也可以通过构建通项公式去证明。现用构建通项公式的证明思路分析如下：
即证：2/1∙5/4∙……(3n-1)/(3n-2)﹥∛4/1∙∛7/∛4∙∛10/∛7……∛(3n+1)/∛(3n-2)
即证：(3n-1)/(3n-2)﹥∛(3n+1)/∛(3n-2)，这可对通项立方后作差进行证明，从而可得S_n与1/3 log_a b_(n+1)的大小关系，最后还得对a进行分类讨论，完成全题求解的过程。这道题在延着目标的基础上，采用了“执果索因”的分析法进行了论证，显得别具一格。这种方法体现了反面思考逆向思维的方法，但在具体解题时，可先用分析法去分析，然后再用综合法去叙述，这样就不会犯从结论出发寻找的条件是不充分的错误。